三角函数降次公式及推导过程

三角函数降次公式及推导过程

三角函数是数学中非常重要的一个分支，其中包含了许多重要的公式和结论。在三角函数中，降次公式是非常重要的一个部分，它可以用来将三角函数的值域从正弦函数到正切函数。本文将介绍三角函数降次公式的推导过程。

一、定义

在三角函数中，我们通常使用正弦函数和余弦函数来表示角和边。设 $a$ 为角，$b$ 为边，则正弦函数 $S(a)$ 和余弦函数 $C(a)$ 可以表示为：

$$S(a) = \\frac{\\sin a}{a}$$

$$C(a) = \\frac{\\cos a}{a}$$

二、降次公式的推导过程

我们可以将正弦函数和余弦函数进行降次，从而得到降次公式。具体来说，设 $a$ 为任意角，$b$ 为 $a$ 的补角，$c$ 为 $a$ 的余角，则有：

$$S_c(b) = \\frac{\\sin(b+c)}{b+c}$$

$$C_c(b) = \\frac{\\cos(b+c)}{b+c}$$

其中，$S_c(b)$ 表示正弦函数 $S(a)$ 在 $b$ 的补角 $c$ 处取值，$C_c(b)$ 表示正弦函数 $C(a)$ 在 $b$ 的补角 $c$ 处取值。

根据余弦函数的定义，$C_c(b)$ 可以表示为：

$$C_c(b) = \\frac{\\cos b}{\\sin b} = \\frac{1-\\sin^2 b}{2\\sin b}$$

将 $S_c(b)$ 代入上式，得到：

$$C_c(b) = \\frac{1-\\sin^2 (b+c)}{2\\sin (b+c)}$$

将 $C_c(b)$ 和 $S_c(b)$ 分别除以 $\\sin(b+c)$ 和 $\\sin a$，得到：

$$\\frac{C_c(b)}{S_c(b)} = \\frac{1}{2\\sin(b+c)}$$

$$\\frac{C_c(b+a)}{S_c(b+a)} = \\frac{C_c(b)}{S_c(b)} + \\frac{C_c(a)}{S_c(a)}$$

将 $C_c(a)$ 和 $C_c(b)$ 代入上式，得到：

$$\\frac{C_c(b+a)}{S_c(b+a)} = \\frac{C_c(a)}{S_c(a)} + \\frac{C_c(b)}{S_c(b)}$$

将 $C_c(b)$ 和 $C_c(a)$ 分别除以 $\\sin a$ 和 $\\sin b$，得到：

$$\\frac{C_c(b+a)}{S_c(b+a)} = \\frac{C_c(a)}{S_c(a)} + \\frac{\\sin b\\cos c}{\\sin a\\cos b}$$

$$\\frac{C_c(b+a)}{S_c(b+a)} = \\frac{C_c(a)}{S_c(a)} + \\frac{\\sin b\\cos c}{\\cos a\\sin b}$$

将 $C_c(a)$ 和 $C_c(b)$ 分别代入上式，得到：

$$\\frac{C_c(b+a)}{S_c(b+a)} = \\frac{C_c(a)}{S_c(a)} + \\frac{\\sin b\\cos c}{\\cos a\\sin b} = \\frac{C_c(a)}{S_c(a)} + \\frac{S_c(a)\\cos b – S_c(b)\\sin