为了详细推导 tan 75° 的值，我们可以利用三角函数加法公式，将 75° 分解为两个已知正切值的特殊角度之和（45° + 30°），并进行计算：
1. 应用三角函数加法公式 ：
使用加法公式 \\( \\tan(A + B) = \\frac{\\tan A + \\tan B}{1 – \\tan A \\tan B} \\)，其中设 \\( A = 45^\\circ \\)，\\( B = 30^\\circ \\)。
2. 代入已知值 ：
已知 \\( \\tan 45^\\circ = 1 \\) 和 \\( \\tan 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\)，带入公式得到：
\\[
\\tan 75^\\circ = \\tan(45^\\circ + 30^\\circ) = \\frac{1 + \\frac{\\sqrt{3}}{3}}{1 – (1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3})}
\\]
3. 简化分子和分母 ：
分子：\\( 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{3 + \\sqrt{3}}{3} \\)
分母：\\( 1 – \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{3 – \\sqrt{3}}{3} \\)
4. 将分数形式约分 ：
\\[
\\tan75^\\circ = \\frac{\\frac{3 + \\sqrt{3}}{3}}{\\frac{3 – \\sqrt{3}}{3}} = \\frac{3 + \\sqrt{3}}{3 – \\sqrt{3}}
\\]
5. 有理化分母 ：
乘以共轭分母：
\\[
\\tan75^\\circ = \\frac{(3 + \\sqrt{3})(3 + \\sqrt{3})}{(3 – \\sqrt{3})(3 + \\sqrt{3})} = \\frac{9 + 6\\sqrt{3} + 3}{9 – 3} = \\frac{12 + 6\\sqrt{3}}{6}
\\]
6. 进一步简化 ：
分子分母同时除以6：
\\[
\\tan75^\\circ = 2 + \\sqrt{3}
\\]
因此，详细推导得出 \\(\\tan 75° = 2 + \\sqrt{3}\\)。
—
综上所述，通过分解角度、应用加法公式以及有理化分母等步骤，我们得出了 tan75 度的精确值为 \\( 2 + \\sqrt{3} \\)。这个过程展示了如何利用三角函数的基本恒等式来求解未知角的问题，进一步巩固了对三角函数的理解与应用能力。
